Un cuarto de siglo de las matemáticas recreativas, por Martin Gardner - Las Ciencias - 2020

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Anonim

Editar o de Nota: A la luz de la reciente muerte de Martin Gardner, volvemos a publicar este artículo del número de agosto de 1998 de . Gardner escribió la columna "Juegos matemáticos" para desde 1956 hasta 1981, y continuó aportando columnas de forma ocasional durante varios años. . Este artículo, que incluye cuatro rompecabezas de Martin Gardner, fue su pieza final para la revista.

La columna Mis juegos matemáticos comenzó en el número de diciembre de 1956 de Con un artículo sobre hexaflexagones. Estas estructuras curiosas, creadas al doblar una tira de papel común en un hexágono y luego pegar los extremos, podrían volverse del revés repetidamente, revelando una o más caras ocultas. Las estructuras fueron inventadas en 1939 por un grupo de estudiantes graduados de la Universidad de Princeton. Es divertido jugar con los hexaflexagones, pero lo más importante es que muestran el vínculo entre los rompecabezas recreativos y las matemáticas “serias”: uno de sus inventores fue Richard Feynman, quien se convirtió en uno de los físicos teóricos más famosos del siglo.

Cuando comencé mi columna, solo unos pocos libros sobre matemáticas recreativas estaban impresos. El clásico del género: Recreaciones Matemáticas y Ensayos , escrito por el eminente matemático inglés W. W. Rouse Ball en 1892, estaba disponible en una versión actualizada por otra figura legendaria, el geómetro canadiense H.S.M. Coxeter. Dover Publications había publicado una traducción del francés de La Mathématique des Jeux ( Recreaciones matematicas ), del teórico belga Maurice Kraitchik. Pero aparte de algunas otras colecciones de rompecabezas, eso fue todo. Desde entonces, ha habido una notable explosión de libros sobre el tema, muchos escritos por distinguidos matemáticos. Los autores incluyen a Ian Stewart, quien ahora escribe La columna de "Recreaciones matemáticas"; John H. Conway de la Universidad de Princeton; Richard K. Guy de la Universidad de Calgary; y Elwyn R. Berlekamp de la Universidad de California en Berkeley. Los artículos sobre matemáticas recreativas también aparecen con mayor frecuencia en las publicaciones periódicas matemáticas. El trimestral Diario de Matemáticas Recreativas comenzó a publicarse en 1968. La línea entre las matemáticas entretenidas y las matemáticas serias es borrosa. Muchos matemáticos profesionales consideran su trabajo como una forma de juego, de la misma manera que lo hacen los golfistas profesionales o las estrellas del baloncesto. En general, las matemáticas se consideran recreativas si tienen un aspecto lúdico que puede ser comprendido y apreciado por los no matemáticos. Las matemáticas recreativas incluyen problemas elementales con soluciones elegantes y, en ocasiones, sorprendentes. También abarca paradojas alucinantes, juegos ingeniosos, trucos mágicos desconcertantes y curiosidades topológicas como bandas de Möbius y botellas de Klein. De hecho, casi todas las ramas de las matemáticas más simples que el cálculo tienen áreas que pueden considerarse recreativas. (Algunos ejemplos divertidos se muestran en la página siguiente.)

Ticktacktoe en el aula
La revista mensual publicada por el Consejo Nacional de Maestros de Matemáticas, Profesor de matemáticas , a menudo lleva artículos sobre temas recreativos. La mayoría de los maestros, sin embargo, continúan ignorando tal material. Durante 40 años he hecho todo lo posible para convencer a los educadores de que las matemáticas recreativas deben incorporarse en el plan de estudios estándar. Debe introducirse regularmente como una forma de interesar a los jóvenes estudiantes en las maravillas de las matemáticas. Hasta ahora, sin embargo, el movimiento en esta dirección ha sido glacial.

A menudo he contado una historia de mis propios años de escuela secundaria que ilustra el dilema. Un día durante el período de estudio de matemáticas, después de que terminé mi tarea habitual, saqué una hoja de papel nueva y traté de resolver un problema que me había intrigado: si el primer jugador en un juego de ticktacktoe siempre puede ganar, dado el estrategia correcta Cuando mi maestra me vio garabateando, me arrebató la hoja y dijo: "Sr. Gardner, cuando estés en mi clase, espero que trabajes en matemáticas y nada más ".

El problema del ticktacktoe sería un maravilloso ejercicio en el aula. Es una excelente manera de presentar a los estudiantes matemáticas combinatorias, teoría de juegos, simetría y probabilidad. Además, el juego es parte de la experiencia de todos los estudiantes: ¿Quién no ha jugado, como niño, a las garrapatas? Sin embargo, conozco a pocos profesores de matemáticas que han incluido tales juegos en sus lecciones.

Según el anuario de 1997 del consejo de maestros de matemáticas, la última tendencia en educación matemática se llama "la nueva matemática nueva" para distinguirla de la "nueva matemática", que fracasó de manera tan desastrosa hace varias décadas. El sistema de enseñanza más reciente consiste en dividir las clases en pequeños grupos de estudiantes e instruir a los grupos para resolver problemas a través del razonamiento cooperativo. "Aprendizaje interactivo", como se le llama, se sustituye por dar clases. Aunque hay algunos aspectos positivos de las nuevas matemáticas nuevas, me sorprendió el hecho de que el anuario no tenía nada que decir sobre el valor de las matemáticas recreativas, lo que se presta muy bien a la resolución cooperativa de problemas.

Permítanme proponer a los profesores el siguiente experimento. Pida a cada grupo de estudiantes que piensen en cualquier número de tres dígitos; llamémoslo ABC. Luego pida a los estudiantes que ingresen la secuencia de dígitos en dos en sus calculadoras, formando el número ABCABC. Por ejemplo, si los estudiantes pensaron en el número 237, marcarían el número 237,237. Dígales a los estudiantes que tiene el poder psíquico para predecir que si dividen ABCABC por 13, no habrá resto. Esto resultará ser cierto. Ahora pídales que dividan el resultado entre 11. Una vez más, no habrá resto. Finalmente, pídales que se dividan por 7. He aquí que, el número original ABC ahora está en la lectura de la calculadora. El secreto del truco es simple: ABCABC = ABC ≤ 1,001 = ABC ≤ 7 ≤ 11 ≤ 13. (Como todos los demás enteros, 1,001 puede ser factorizado en un conjunto único de números primos). No conozco una mejor introducción a la teoría de los números y las propiedades de los números primos que pedir a los alumnos que expliquen por qué este truco siempre funciona.

Polyominoes y azulejos de Penrose
Una de las grandes alegrías de escribir el La columna de más de 25 años fue conocer a tantos matemáticos auténticos. Yo mismo soy poco más que un periodista que ama las matemáticas y que puedo escribir sobre ellas con destreza. No tomé cursos de matemáticas en la universidad. Mis columnas se volvieron cada vez más sofisticadas a medida que aprendía más, pero la clave de la popularidad de la columna era el fascinante material que pude obtener de algunos de los mejores matemáticos del mundo. Solomon W. Golomb de la Universidad del Sur de California fue uno de los primeros en suministrar grano para la columna. En el número de mayo de 1957 introduje sus estudios de poliominos, formas formadas por la unión de cuadrados idénticos a lo largo de sus bordes. El dominó, creado a partir de dos cuadrados de este tipo, puede tomar una sola forma, pero el tromino, el tetromino y el pentomino pueden asumir una variedad de formas: Ls, Ts, cuadrados, etc. Uno de los problemas iniciales de Golomb fue determinar si un conjunto específico de poliominos, encajados perfectamente, podría cubrir un tablero de ajedrez sin perder ningún cuadrado. El estudio de los poliominos se convirtió pronto en una rama floreciente de las matemáticas recreativas. Arthur C. Clarke, el autor de ciencia ficción, confesó que se había convertido en un "adicto al pentomino" después de comenzar a jugar con las figuras aparentemente simples.

Golomb también me llamó la atención sobre una clase de figuras que llamó "reptiles": polígonos idénticos que se unen para formar réplicas más grandes de sí mismos. Uno de ellos es la esfinge, un pentágono irregular cuya forma es algo similar a la del antiguo monumento egipcio. Cuando cuatro esfinges idénticas se unen de la manera correcta, forman una esfinge más grande con la misma forma que sus componentes. El patrón de rep-tiles puede expandirse infinitamente: forman un mosaico del plano al hacer réplicas cada vez mayores.El difunto Piet Hein, el ilustre inventor y poeta de Dinamarca, se convirtió en un buen amigo gracias a sus contribuciones a "Mathematical Games". En el número de julio de 1957, escribí sobre un juego topológico que inventó llamado Hex, que se juega en un tablero con forma de diamante. Hecho de hexágonos. Los jugadores colocan sus marcadores en los hexágonos e intentan ser los primeros en completar una cadena ininterrumpida de un lado del tablero al otro. El juego a menudo se ha llamado John porque se puede jugar en las baldosas hexagonales del piso de un baño.

Hein también inventó el cubo Soma, que fue objeto de varias columnas (septiembre de 1958, julio de 1969 y septiembre de 1972). El cubo de Soma consta de siete policubos diferentes, los análogos tridimensionales de los poliominos. Se crean uniendo cubos idénticos en sus caras. Los policubos se pueden juntar para formar el cubo de Soma, de 240 maneras, no menos, así como toda una serie de formas de Soma: la pirámide, la bañera, el perro, etc.

En 1970, el matemático John Conway, uno de los genios indiscutibles del mundo, vino a verme y me preguntó si tenía un tablero para el antiguo juego oriental de go. Yo si. Conway demostró su ahora famoso juego de simulación llamado Life. Colocó varios contadores en la cuadrícula del tablero, luego los quitó o agregó nuevos contadores de acuerdo con tres reglas simples: cada contador con dos o tres contadores vecinos puede permanecer; cada contador con uno o ninguno de los vecinos, o cuatro o más vecinos, se elimina; y se agrega un nuevo contador a cada espacio vacío adyacente a exactamente tres contadores. Al aplicar estas reglas repetidamente, se puede crear una variedad sorprendente de formas, incluidas algunas que se mueven a través del tablero como insectos. Describí la vida en la columna de octubre de 1970, y se convirtió en un éxito instantáneo entre los aficionados a las computadoras. Durante muchas semanas después, las empresas comerciales y los laboratorios de investigación casi cerraron sus puertas, mientras que los entusiastas de la vida experimentaron con formas de vida en sus pantallas de computadora.

Más tarde, Conway colaboró ​​con sus colegas matemáticos Richard Guy y Elwyn Berlekamp en lo que considero la mayor contribución a las matemáticas recreativas en este siglo, un trabajo de dos volúmenes llamado Maneras ganadoras (mil novecientos ochenta y dos). Una de sus cientos de gemas es un juego para dos personas llamado Phutball, que también se puede jugar en un tablero de go. El Phutball se coloca en el centro del tablero, y los jugadores se turnan para colocar contadores en las intersecciones de las líneas de la cuadrícula. Los jugadores pueden mover el Phutball saltándolo sobre los contadores, que se eliminan del tablero después de haber sido superados. El objetivo del juego es hacer que Phutball supere la línea de meta del lado opuesto al construir una cadena de contadores en todo el tablero. Lo que hace que el juego sea distintivo es que, a diferencia de las damas, el ajedrez, el go o el maleficio, Phutball no asigna diferentes piezas de juego a cada lado: los jugadores usan los mismos contadores para construir sus cadenas. En consecuencia, cualquier movimiento realizado por un jugador de Phutball también puede ser realizado por su oponente.

Otros matemáticos que aportaron ideas para la columna son Frank Harary, ahora en la Universidad Estatal de Nuevo México,
Quien generalizó el juego del ticktacktoe. En la versión del juego de Harary, presentada en el número de abril de 1979, el objetivo no era formar una línea recta de Xs u Os; en cambio, los jugadores intentaron ser los primeros en organizar sus X u Os en un poliomino específico, como una L o un cuadrado. Ronald L. Rivest, del Instituto de Tecnología de Massachusetts, me permitió ser el primero en revelar, en la columna de agosto de 1977, el sistema de cifrado "publickey" que él inventó. Fue el primero de una serie de cifrados que revolucionaron el campo de la criptología. También tuve el placer de presentar el arte matemático de Maurits C. Escher, que apareció en la portada del número de abril de 1961 de , así como el mosaico no periódico descubierto por Roger Penrose, el físico matemático británico famoso por su trabajo sobre la relatividad y los agujeros negros.

Las baldosas de Penrose son un maravilloso ejemplo de cómo un descubrimiento hecho únicamente por diversión puede resultar en un uso práctico inesperado. Penrose ideó dos tipos de formas, "cometas" y "dardos", que cubren el plano solo de una manera no periódica: ninguna parte fundamental del patrón se repite. Expliqué el significado del descubrimiento en el número de enero de 1977, que mostraba un patrón de azulejos de Penrose en su portada. Unos años más tarde, una forma tridimensional de mosaico de Penrose se convirtió en la base para construir un tipo de estructura molecular previamente desconocido llamado cuasicristal. Desde entonces, los físicos han escrito cientos de artículos de investigación sobre cuasicristales y sus propiedades térmicas y vibracionales únicas. Aunque la idea de Penrose comenzó como una actividad estrictamente recreativa, allanó el camino para una rama completamente nueva de la física del estado sólido.

El inodoro a ras de Leonardo
Las dos columnas que generaron el mayor número de letras fueron la columna de mi Día de los Inocentes y la de la paradoja de Newcomb. La columna de engaño, que apareció en el número de abril de 1975, pretendía cubrir grandes avances en ciencia y matemáticas. Los descubrimientos sorprendentes incluyeron una refutación de la teoría de la relatividad y la revelación de que Leonardo da Vinci había inventado el inodoro con descarga. La columna también anunció que el movimiento de ajedrez inicial de peón a la torre del rey 4 fue un cierto ganador del juego y que el aumento de π ≤ √163 fue exactamente igual al número entero 262,537,412,640,768,744. Para mi sorpresa, miles de lectores no reconocieron la columna como una broma. Acompañando el texto había un mapa complicado que dije que requería cinco colores para garantizar que no haya dos regiones vecinas con el mismo color. Cientos de lectores me enviaron copias del mapa en color con solo cuatro colores, manteniendo así el teorema de los cuatro colores. Muchos lectores dijeron que la tarea había tomado días.

La paradoja de Newcomb lleva el nombre del físico William A. Newcomb, quien originó la idea, pero fue descrita por primera vez en un artículo técnico por el filósofo de la Universidad de Harvard Robert Nozick. La paradoja involucra dos cajas cerradas, A y B. La caja A contiene $ 1,000. La caja B no contiene nada o $ 1 millón. Tiene dos opciones: tomar solo la casilla B o tomar ambas cajas. Obviamente, tomar ambos parece ser la mejor opción, pero hay un problema: un superbeo, Dios, si lo desea, tiene el poder de saber de antemano cómo elegir. Si él predice que por codicia tomará ambas cajas, dejará a B vacía, y obtendrá solo $ 1,000 en A. Pero si predice que tomará solo la caja B, pondrá $ 1 millón en ella. Has visto este juego jugado muchas veces con otros, y en todos los casos, cuando el jugador eligió ambas casillas, descubrió que B estaba vacía. Y cada vez que un jugador elige solo la casilla B, se convierte en millonario.

¿Cómo debes elegir? El argumento pragmático es que, debido a los juegos anteriores que has presenciado, puedes asumir que el Superbe sí tiene el poder de hacer predicciones precisas. Por lo tanto, debe tomar solo la casilla B para garantizar que obtendrá los $ 1 millón. ¡Pero espera! El superbeing hace su predicción. antes de juegas el juego y no tienes poder para alterarlo. Al momento de hacer su elección, la Caja B está vacía o contiene $ 1 millón. Si está vacío, no obtendrá nada si elige solo el cuadro B. Pero si elige ambos cuadros, al menos obtendrá los $ 1,000 en A. Y si B contiene $ 1 millón, obtendrá el millón más otro mil. Entonces, ¿cómo puedes perder eligiendo ambas cajas?

Cada argumento parece indiscutible. Sin embargo, ambos no pueden ser la mejor estrategia. Nozick concluyó que la paradoja, que pertenece a una rama de las matemáticas llamada teoría de la decisión, sigue sin resolverse. Mi opinión personal es que la paradoja demuestra, al conducir a una contradicción lógica, la imposibilidad de la capacidad de un superintendente para predecir decisiones. Escribí sobre la paradoja en la columna de julio de 1973 y recibí tantas cartas después que las guardé en una caja y las entregué personalmente a Nozick. Analizó las cartas en una columna invitada en el número de marzo de 1974.

Los cuadrados mágicos han sido durante mucho tiempo una parte popular de las matemáticas recreativas. Lo que hace que estos cuadrados sean mágicos es la disposición de los números dentro de ellos: los números en cada columna, fila y diagonal suman la misma suma. Por lo general, se requiere que los números en el cuadrado mágico sean distintos y se ejecuten en orden consecutivo, comenzando con uno. Existe un solo cuadrado mágico de orden 3, que organiza los dígitos del uno al nueve en una cuadrícula de tres por tres. (Las variaciones hechas girando o reflejando el cuadrado se consideran triviales). En contraste, hay 880 cuadrados mágicos de orden 4, y el número de arreglos aumenta rápidamente para órdenes más altas. Sorprendentemente, este no es el caso de los hexágonos mágicos. En 1963 recibí en el correo un hexágono mágico de pedido 3 ideado por Clifford W. Adams, un empleado retirado del Ferrocarril de Lectura. Envié el hexágono mágico a Charles W. Trigg, matemático del Colegio de la Ciudad de Los Ángeles, quien demostró que este elegante patrón era el único hexágono mágico de orden 3, ¡y que no es posible ningún hexágono mágico de otro tamaño!

¿Qué sucede si no se requiere que los números en un cuadrado mágico se ejecuten en orden consecutivo? Si el único requisito es que los números sean distintos, se puede construir una gran variedad de cuadrados mágicos de orden 3. Por ejemplo, hay un número infinito de tales cuadrados que contienen números primos distintos. ¿Se puede hacer un cuadrado mágico de orden 3 con nueve números cuadrados distintos? Hace dos años en un artículo en Cuántico , Ofrecí $ 100 para tal patrón. Hasta ahora nadie ha presentado un "cuadrado de cuadrados", pero nadie ha demostrado su imposibilidad. Si existe, su número sería enorme, quizás más allá del alcance de las supercomputadoras más rápidas de hoy. Tal cuadrado mágico probablemente no tendría ningún uso práctico. ¿Por qué entonces los matemáticos están tratando de encontrarlo? Porque podría estar allí.

El asombroso Dr. Matrix
Cada año más o menos durante mi permanencia en Dedicaría una columna a una entrevista imaginaria con un numerólogo al que llamé Dr. Irving Joshua Matrix (tenga en cuenta el "666" proporcionado por el número de letras en su nombre, segundo nombre y apellido). El buen médico explicaría las propiedades inusuales de los números y las formas extrañas de juegos de palabras. Muchos lectores pensaron que el Dr. Matrix y su hermosa hija mitad japonesa, Iva Toshiyori, eran reales. Recuerdo una carta de un lector japonés desconcertado que me dijo que Toshiyori era un apellido muy peculiar en Japón. Lo había tomado de un mapa de Tokio. Mi informante dijo que en japonés la palabra significa "calle de ancianos".

Lamento no haberle preguntado nunca al Dr. Matrix su opinión sobre el ridículo best-seller de 1997 El codigo de la biblia , que pretende encontrar predicciones del futuro en la disposición de las letras hebreas en el Antiguo Testamento. El libro emplea un sistema de cifrado que hubiera enorgullecido al Dr. Matrix. Al aplicar selectivamente este sistema a ciertos bloques de texto, los lectores curiosos pueden encontrar predicciones ocultas no solo en el Antiguo Testamento sino también en el Nuevo Testamento, el Corán, el Wall Street Journal —E incluso en las páginas de El codigo de la biblia sí mismo.

La última vez que supe del Dr. Matrix, él estaba en Hong Kong, investigando la aparición accidental de π en obras de ficción bien conocidas. Citó, por ejemplo, el siguiente fragmento de oración en el capítulo nueve del libro dos de H. G. Wells La guerra de los mundos : "Durante un tiempo me paré con respecto a …" ¡Las letras en las palabras dan π a seis dígitos!

RESPUESTAS A CUATRO JUEGOS DE JARDIN ARRIBA:

1. La mayoría de las personas adivina que la probabilidad ha aumentado de 1/3 a 1/2. Después de todo, solo dos cartas están boca abajo, y una debe ser el as. En realidad, la probabilidad sigue siendo 1/3. La probabilidad de que usted no lo hizo pick the as permanece 2/3, pero Jones ha eliminado parte de la incertidumbre al demostrar que una de las dos cartas no escogidas no es el as. Así que hay una probabilidad de 2/3 de que la otra carta no escogida sea el as. Si Jones te da la opción de cambiar tu apuesta a esa carta, deberías aceptarla (a menos que esté deslizando las cartas bajo la manga, por supuesto).

Introduje este problema en mi columna de octubre de 1959 en una forma ligeramente diferente: en lugar de tres tarjetas, el problema involucraba a tres prisioneros, uno de los cuales había sido indultado por el gobernador. En 1990, Marilyn vos Savant, autora de una popular columna en Desfile La revista, presentó otra versión del mismo problema, involucrando tres puertas y un automóvil detrás de una de ellas. Ella dio la respuesta correcta, pero recibió miles de cartas enojadas, muchas de ellas de matemáticos, acusándola de ignorar la teoría de la probabilidad. Las fracas generaron una historia de portada en el New York Times .

2. La suma es 111. El truco siempre funciona porque la matriz de números no es más que una tabla de sumas pasada de moda ( abajo ). La tabla se genera mediante dos conjuntos de números: (3, 1, 5, 2, 4, 0) y (25, 31, 13, 1, 7, 19). Cada número en la matriz es la suma de un par de números en los dos conjuntos. Cuando elige los seis números en círculo, está seleccionando seis pares que juntos incluyen los 12 números generadores. Así que la suma de los números dentro de un círculo es siempre igual a la suma de los 12 números generadores. Estos cuadrados mágicos especiales fueron el tema de mi columna de enero de 1957.

3. Cada cadena de palabras termina en "Dios". Esta respuesta puede parecer providencial, pero en realidad es el resultado del Conde de Kruskal, un principio matemático primero señalado por el matemático Martin Kruskal en la década de 1970. Cuando el número total de palabras en un texto es significativamente mayor que el número de letras en la palabra más larga, es probable que cualquiera de las dos cadenas de palabras iniciadas arbitrariamente se crucen en una palabra clave. Después de ese punto, por supuesto, las cadenas se vuelven idénticas. A medida que el texto se alarga, la probabilidad de intersección aumenta. Discutí el principio de Kruskal en mi columna de febrero de 1978. El matemático John Allen Paulos aplica el principio a las cadenas de palabras en su próximo libro Érase un número .

4. Por simplicidad, imagina una baraja de solo 10 cartas, con las cartas negra y roja alternando así: BRBRBRBRBR. Cortar esta baraja por la mitad producirá dos barajas de cinco cartas: BRBRB y RBRBR. Al comienzo de la baraja aleatoria, la carta inferior de una baraja es negra, y la carta inferior de la otra baraja es roja. Si la tarjeta roja golpea la mesa primero, las tarjetas inferiores de ambas cubiertas serán negras, por lo que la siguiente carta que caiga creará un par negro en la mesa. Y si la carta negra cae primero, las cartas inferiores de ambas cubiertas serán rojas, por lo que la próxima carta que caiga creará un par rojo-negro. Después de que las dos primeras cartas caigan, sin importar de qué mazo vengan, la situación será la misma que en el principio: las cartas de la parte inferior de las cubiertas serán de diferentes colores. El proceso luego se repite, garantizando una tarjeta negra y roja en cada par sucesivo, incluso si algunas de las tarjetas permanecen juntas ( abajo ).

Este fenómeno se conoce como el principio de Gilbreath por su descubridor, Norman Gilbreath, un mago de California. Lo expliqué por primera vez en mi columna en agosto de 1960 y lo discutí nuevamente en julio de 1972. Los magos han inventado más de 100 trucos de cartas basados ​​en este principio y sus generalizaciones. —M.G.

Los puntos de vista expresados ​​son los del autor (es) y no son necesariamente aquellos.